Nato a Livorno il 18 gennaio 1992, Francesco Bardi è cresciuto nelle giovanili della squadra della sua città. Con la maglia del club toscano fa il suo esordio in Serie A a soli diciotto anni, in Parma-Livorno (4-1). Rimane in amaranto fino al gennaio 2011, quando passa in comproprietà all'Inter, con la quale vince il Torneo di Viareggio in cui si laurea anche miglior portiere della competizione. Nella stagione successiva torna a Livorno in Serie B e a fine stagione viene riscattato dai nerazzurri, che lo rigirano in prestito al Novara. In Piemonte arriva fino alle  semifinali play-off per la promozione nella massima serie, vincendo il premio come miglior portiere della Serie B. Torna quindi al Livorno, col quale disputa la sua prima stagione da titolare in Serie A, conclusa con la retrocessione della squadra toscana, che chiude all'ultimo posto. Bardi giocherà in A anche la prossima stagione: è stato infatti ingaggiato in prestito dal Chievo. In maglia azzurra, il portiere livornese segue la trafila dall'Under 17 all'Under 19, prima di fare il suo esordio con l'Under 21 a diciannove anni. Con gli Azzurrini, arriva secondo all'Europeo di categoria in Israele nel 2013. Viene anche convocato in nazionale maggiore prima del Mondiale per uno stage dal 10 al 12 marzo 2014. Le statistiche di Francesco Bardi su figc.it.