Federico Viviani nasce a Lecco il 24 marzo 1992 e cresce nelle giovanili della Roma, con cui vince un campionato e una Coppa Italia primavera. Con la società giallorossa fa il suo esordio da professionista nel 2011, a Bratislava, giocando titolare a 19 anni nell'andata degli Spareggi di Europa League (Slovan-Roma 1-0). Con lo spagnolo Luis Enrique in panchina, le presenze a fine stagione sono 9 tra campionato e coppe. L'anno seguente si trasferisce al Padova in prestito: in Serie B totalizza 22 presenze (più una in Coppa Italia) segnando i suoi primi 2 gol. A fine stagione va ancora in prestito (con diritto di riscatto della metà) al Pescara, dove rimane fino a gennaio, quando, dopo 6 partite e 2 gol, viene ceduto in prestito al Latina. Con la squadra pontina raggiunge le finali play-off per la promozione in Serie A, perse contro il Cesena, e segna 3 reti in 21 partite. Mediano con ottime capacità balistiche sui calci piazzati, Viviani in maglia azzurra ha giocato con Under 19 e Under 20, prima di fare il suo esordio in Under 21 nel 2012 (amichevole Scozia-Italia 1-4). Segna il suo primo gol con gli Azzurrini a Casarano contro il Lichtenstein (7-0), gara valevole per le Qualificazioni all'Europeo 2013. Partecipa inoltre a uno stage con la nazionale maggiore nel marzo 2014.